В этимологическом словаре Льва Успенского «Почему не иначе?» автор отмечает, что легче варежку связать, чем точно ответить на этот вопрос. Версий происхождения этого слова много. Одни лингвисты видят здесь производное от древнерусского глагола «варити» - «защищать», «оберегать»; тогда варежки - «оберегалки», «защитки» для рук. Другие считают, что название это значило когда-то «варяжские», скандинавского образца, рукавицы (но в особую разницу между «русским» и «варяжским» покроем простых однопалых перчаток верится с трудом).

На сайте Грамота.ру приведена такая версия этимологии слова варежка: «В областных русских говорах есть немало названий рукавиц, связанных с обозначением процессов обработки шерсти: вязанки, плетёнки, ва`леги (валеные рукавицы), ка`танки (катаные рукавицы). Сюда же относятся и ва`реги, варежки, образованные по названию процесса - варить, кипятить. Готовые изделия из шерсти заваривали в кипятке, чтобы они стали более прочными и тёплыми» (см.: З. И. Люстрова, Л. И. Скворцов, В. Я. Дерягин. Беседы о русском слове. М., 1978). Слово рукавицы, кстати, древнее варежек. Оно связано с двумя словами: рука и вить (обвивающая руку).

Любопытно, что довольно широко в славянских языках представлено параллельное название ноговица для специальной одежды на ногу. В словацком языке ноговицы - это брюки, штаны, в польском и чешском - штанины, а в словенском - чулки или носки. Вместо слова перчатки сначала применяли словосочетание перстяные или перстатые рукавицы. (Такое название можно найти в Смоленской грамоте 1229 года.) В сочетаниях перстяные, перстатые рукавицы и в слове перчатки легко виден корень перст - палец. Так что перчатки - это всего лишь рукавицы с пальцами.